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半导体开放世界

能带

Energy Band也称 能带结构、允带、E-k 关系、band structure、energy band

晶格周期势中电子允许能量 E 随波矢 k 形成的分支集合。

基础主路径「从硅到芯片」第 2 站出处 4 本教材
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速览

约 1 分钟

晶体中电子允许能量形成能带。价带与导带之间的禁带宽度，决定材料更像绝缘体、半导体还是金属倾向。

系统理解

约 2 分钟

孤立原子的分立能级在晶体中因周期势而展宽为能带。半导体的关键在于禁带宽度适中：室温下既有可观的本征激发，又能通过掺杂与电场显著调控载流子。能带图还用于理解接触势垒、光吸收边与异质结能带偏移。读懂能带图，是进入器件物理的通用语言。

连接晶体结构与载流子/掺杂的枢纽概念。

公式提示

本征浓度大致随 Eg 增大而指数下降（温度固定时）。

关键参数

关键参数
参数单位含义
Eₙ(k)—第 n 条能带的能量随晶体波矢变化的色散关系。
群速度 v_gm/s电子波包传播速度，由 (1/ℏ)∇ₖE 给出。
有效质量 m*kg 或 m₀由能带曲率定义，概括周期晶格对外力响应的影响。
态密度 D(E)—单位能量区间内可用量子态的数量，不等于电子占据数。

常见误区

  • 把能带当成真实空间中的几何分层

工程深入

15 条结论

能带为何出现

机制

相邻原子的相互作用形成允许能带

大量原子组成晶体后，原先分立的原子能级因相互作用和泡利不相容原理发生分裂并展宽，形成允许电子占据的能带。12

成立条件 采用晶体电子的单电子近似；能带是允许能量状态的集合，不是晶体内部的实体层状结构

禁带宽度 组成：价带和导带之间没有允许态的能量范围构成禁带。
边界

允许态与电子占据是两个不同问题

能带说明哪些量子态在给定晶体中允许存在，费米统计再决定这些态被电子占据的概率；一个能带可以允许大量状态却几乎为空，也可以接近填满。13

成立条件 讨论平衡占据时还需要温度和费米能级；没有允许态的能量区间不能用占据概率补出普通体态

费米能级 后续：费米能级和温度共同决定允许态的占据概率。
机制

布洛赫定理把晶格周期性带入电子波函数

当势能满足晶格平移周期性时，单电子本征态可以写成平面波 exp(ik·r) 与晶格周期函数 uₙₖ(r) 的乘积；电子既不是完全局域在某个原子，也不是不受晶格影响的自由粒子。234

ψₙₖ(r) = uₙₖ(r)exp(ik·r)，uₙₖ(r+R)=uₙₖ(r)

k
晶体波矢
R
任意直接晶格矢量
n
能带序号

成立条件 理想无限周期晶体和单电子哈密顿量；表面、缺陷和强无序会破坏严格平移对称性

晶体结构 前置：晶格平移对称性是布洛赫态成立的前提。
机制

周期势在简并点打开能隙

在布里渊区边界，传播方向相反但能量相同的电子波被周期势耦合，组合成电子密度分别偏向原子位置和原子间位置的两种驻波；两者势能不同，简并被解除并形成上下分裂的带边。24

ΔEzone ≈ 2|Uɢ|

Uɢ
对应倒易矢量 G 的周期势傅里叶分量，单位 eV

成立条件 近自由电子模型给出最直观的一维图像；真实三维晶体的能隙大小取决于势的傅里叶分量、轨道和对称性

禁带宽度 后续：带与带之间的能量分裂构成禁带；器件最关心价带顶与导带底之间的最小能隙。

如何阅读 E–k 关系

定义

Eₙ(k) 同时需要能带序号和波矢

同一个 k 通常对应多条允许能量分支，因此必须用 n 标记第几条能带；一张完整能带图展示的是若干 Eₙ(k) 沿布里渊区高对称路径的截面，而不是材料中所有方向的全部信息。24

成立条件 常见二维曲线只是三维倒空间中的选定路径；比较不同图时必须确认能量零点和高对称路径定义

边界

第一布里渊区包含不重复的 k 状态

对任意倒易晶格矢量 G，Eₙ(k) 与 Eₙ(k+G) 等价，因此可把所有波矢折叠到第一布里渊区；扩展区、简约区和周期区画法只是同一色散关系的不同表示。234

Eₙ(k) = Eₙ(k + G)

G
倒易晶格矢量

成立条件 等价性来自晶格平移对称性；不同区方案不会改变可观测物理结果

定义

态密度统计每个能量区间内有多少允许态

E–k 关系告诉每个波矢对应的能量，态密度 D(E) 则把所有 k 状态按能量汇总，给出单位体积、单位能量内可用状态数；电子浓度还要再乘占据概率后积分。13

成立条件 态密度不等于载流子浓度；不同维度和不同色散关系具有不同的 D(E) 形状

载流子浓度 后续：载流子浓度由态密度和费米占据共同决定。

带边、占据与导电

定义

价带和导带按带边位置与占据角色命名

在未简并半导体的常用图像中，最高的主要占据带称为价带，其顶部为 Eᵥ；其上的最低主要空带称为导带，其底部为 E꜀。更高和更低处还存在其他能带，不能把两带模型当成完整能谱。13

成立条件 面向常规半导体的带边近似；强掺杂、带反转或零带隙材料需要更谨慎地定义占据与带序

机制

完全填满或完全空的能带都不能单独产生净电流

完全填满的能带中，互为相反 k 的占据态对净速度贡献相互抵消，且附近没有空态供电子在弱场下改变运动状态；完全空带则没有载流子。只有部分占据的能带才同时具备载流子和可用空态。12

成立条件 讨论均匀晶体中的弱场线性输运；强场、隧穿和击穿会引入跨带过程

电子与空穴 后续：导带少量电子和价带少量空态分别用电子与空穴描述。
边界

导体、半导体和绝缘体要同时看带隙与填充

金属常具有部分填充能带或能带重叠；半导体与绝缘体在零温理想图像下都可表现为满价带和空导带，区别主要体现在可被热或光激发跨越的能量尺度，而不是存在一道绝对分类线。12

成立条件 分类依赖温度、纯度、结构和观测尺度；窄带隙、零带隙和强关联材料会超出最简分类

载流子如何从能带运动

公式

能带斜率给出电子波包的群速度

晶体电子的半经典速度不是由能量值本身决定，而由 E(k) 对 k 的梯度决定；平坦能带对应较小群速度，陡峭色散对应较大群速度。23

vɢ = (1/ℏ)∇ₖEₙ(k)

vɢ
载流子群速度，单位 m/s
ℏ
约化普朗克常数，单位 J·s

成立条件 波包尺寸远大于晶格常数的半经典近似；强散射、强局域和极短时间过程需要量子输运描述

公式

能带曲率定义有效质量

周期晶格内部作用的复杂影响可被吸收到有效质量中；能带越弯曲，载流子在相同外力下越容易改变速度，对应有效质量越小。三维、各向异性能带一般需要有效质量张量。234

(m*⁻¹)ᵢⱼ = (1/ℏ²)∂²E/∂kᵢ∂kⱼ

m*
有效质量张量

成立条件 带边附近可用二次抛物线近似；远离极值时非抛物性会使有效质量随能量变化

机制

空穴把近满价带的集体响应化为正载流子

价带顶的电子色散曲率为负，直接追踪几乎填满能带中的全部电子很不方便；把少量未占据态改写成带正电、正有效质量的空穴，可得到与实际电流等价的简洁描述。24

成立条件 适用于接近填满的价带；空穴是准粒子与缺占态描述，不是额外加入晶体的基本正粒子

电子与空穴 后续：电子与空穴节点继续解释电荷、速度和电流方向。
边界

一个导带底可以包含多个等价能谷

晶体对称性可使导带在不同 k 方向出现多个等价极小值；硅的低能导带谷沿等价〈100〉方向分布，并具有不同的纵向与横向曲率，因此单一标量有效质量不能描述全部方向。234

成立条件 具体能谷数、位置和质量取决于材料与晶体相；应变可解除能谷简并并改变占据

模型边界与图像辨析

边界

材料 E–k 图与器件能带弯曲图不能混为一张图

材料能带结构以 k 为横轴，描述周期体材料中的色散；PN结或MOS结构常以实空间位置 x 为横轴，画 E꜀、Eᵥ 随电势变化的带边。两类图共享能量坐标，但回答的问题不同。13

成立条件 缓变势下可在每个位置使用局部带边近似；原子级突变、强量子限域和非平衡输运需要更完整模型

禁带宽度 后续：局部带边差 E꜀−Eᵥ 给出指定材料与位置的局部禁带尺度。

出处

4 本教材 · 13 处引用
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  4. 4

    The Physics of Semiconductors

    Marius Grundmann

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