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半导体开放世界

载流子浓度

Carrier Concentration也称 电子浓度、空穴浓度、自由载流子密度、n、p、ni、carrier density

单位体积内可参与输运的导带电子数 n 或价带空穴数 p，由态密度、占据概率和电中性共同决定。

基础出处 4 本教材
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约 1 分钟

载流子浓度不是“掺了多少杂质”的同义词。导带中每个能量区间的允许态数乘以其电子占据概率后积分得到 n；价带允许态乘以空穴概率后积分得到 p。掺杂、温度和费米能级会改变这两个积分。

系统理解

约 2 分钟

第一性原理的计数从能态开始：能带结构产生态密度 D(E)，费米函数给出每个态被电子占据的概率。对导带积分 Dc(E)f(E) 得到 n；对价带积分 Dv(E)[1−f(E)] 得到 p。若带边近似抛物线且半导体非简并，积分可压缩为有效状态密度 Nc、Nv 与指数项的乘积。

在热平衡非简并条件下，n和p的乘积为nᵢ²，与净掺杂无关；但这不意味着二者分别固定。施主使n增加时，p按质量作用定律减小，受主则相反。实际平衡值还必须满足电中性：负电荷n和离化受主，与正电荷p和离化施主相平衡。只有在浅杂质近似完全电离、补偿可忽略且本征激发很弱时，多数载流子浓度才近似等于净掺杂。

低温可能出现杂质冻结，中温常出现杂质主导平台，高温进入本征区；重掺杂时费米能级接近或进入能带，玻尔兹曼公式和简单 np=nᵢ² 近似需要修正。光照、注入或偏置还会产生过剩载流子，此时应区分平衡浓度与总浓度，并使用准费米能级。

载流子浓度把能带、费米能级、本征激发和掺杂统一为可进入输运与器件方程的数量。

关键参数

关键参数
参数单位含义
电子浓度 ncm⁻³单位体积导带自由电子数。
空穴浓度 pcm⁻³单位体积价带空穴数。
有效状态密度 Nc、Nvcm⁻³非简并带边统计中压缩态密度积分的参数。
净掺杂 ND−NAcm⁻³完全电离近似下决定多数载流子量级的施受主差。

常见误区

  • 把掺杂原子浓度直接当成自由载流子浓度
  • 把态密度 D(E) 当成已经被电子占据的载流子浓度
  • 认为热平衡 np=nᵢ² 在强简并和任意非平衡状态下都可直接使用
  • 忽略补偿、杂质冻结和不完全电离
  • 只写 n 或 p 的数值而不注明温度、材料与平衡条件

工程深入

12 条结论

从态密度到数量

公式

电子浓度是导带态密度与电子占据概率的积分

每个能量小区间内的导带允许态数为Dc(E)dE，其中被电子占据的比例为f(E)；对整个导带求和得到单位体积电子浓度。123

n = ∫[E꜀,∞] D꜀(E) f(E) dE

D꜀(E)
导带态密度，单位 cm⁻³·eV⁻¹

成立条件 Dc按单位体积、单位能量定义；积分包含所有相关导带或已在Dc中汇总

公式

空穴浓度用价带未被电子占据的概率计数

价带能量E处为空穴的概率是1−f(E)；将其与价带态密度Dv(E)相乘并对价带积分，得到单位体积空穴浓度。13

p = ∫[−∞,Eᵥ] Dᵥ(E)[1−f(E)] dE

Dᵥ(E)
价带态密度，单位 cm⁻³·eV⁻¹

成立条件 空穴按价带缺失电子定义；多条价带贡献应在Dv中求和

边界

态密度、占据概率和载流子浓度是三个不同量

D(E)说明每个能量区间有多少允许态，f(E)说明单个态被电子占据的平均概率，二者相乘积分后才得到每单位体积的实际载流子数。12

成立条件 三者量纲不同；不能从能带图中只看带宽就直接读出浓度

能带 前置：能带色散决定态密度。
费米能级 前置：费米能级决定占据概率。

非简并浓度公式

公式

有效状态密度把带边积分压缩为一个参数

三维抛物线带边与玻尔兹曼近似下，复杂态密度积分可写成Nc或Nv乘以带边占据的指数因子；Nc、Nv包含状态密度质量和温度。23

N꜀,Nᵥ ∝ (m* kT/ℏ²)³ᐟ²

m*
相应态密度有效质量，单位 kg 或 m₀

成立条件 体材料、抛物线带边、非简并；多能谷与多价带简并需计入状态密度质量或显式简并因子

公式

非简并电子与空穴浓度由费米能级到带边距离决定

EF向Ec靠近会指数增加n，向Ev靠近会指数增加p；这一对公式是从能带占据走向掺杂和器件静电的核心桥梁。14

n=N꜀e⁻⁽ᴱ꜀⁻ᴱꜰ⁾⁄ᵏᵀ；p=Nᵥe⁻⁽ᴱꜰ⁻ᴱᵥ⁾⁄ᵏᵀ

n
导带电子浓度，单位 cm⁻³
p
价带空穴浓度，单位 cm⁻³

成立条件 热平衡、非简并；Nc、Nv与带边必须对应同一材料和温度

质量作用与电中性

公式

热平衡下的质量作用定律

在给定温度的非简并半导体中，热平衡电子浓度与空穴浓度的乘积由材料的本征载流子浓度决定。14

n · p = nᵢ²

n
电子浓度，单位 cm⁻³
p
空穴浓度，单位 cm⁻³
nᵢ
本征载流子浓度，单位 cm⁻³

成立条件 热平衡；非简并近似；温度固定；本征浓度随材料和温度变化

公式

电中性把自由载流子和离化杂质放在同一方程中

均匀体材料热平衡时，负电荷来源n与离化受主浓度NA−之和，等于正电荷来源p与离化施主浓度ND+之和。24

n + Nₐ⁻ = p + Nᴅ⁺

Nᴅ⁺
离化施主浓度，单位 cm⁻³
Nₐ⁻
离化受主浓度，单位 cm⁻³

成立条件 宏观电中性体区；界面、耗尽区或外加空间电荷需使用泊松方程描述局部偏离

边界

多数载流子约等于净掺杂需要四个近似同时成立

只有浅杂质近似完全电离、补偿以ND−NA表示、本征激发远小于净掺杂且统计非简并时，n型材料才有n≈ND−NA，p型材料才有p≈NA−ND。24

成立条件 不完全电离、低温冻结、重掺杂和高温本征化都会破坏简单等式；掺杂总量与电活性掺杂量也可能不同

温度与掺杂区间

机制

温度扫描通常经历冻结、杂质主导和本征三个区间

低温时浅杂质可能未充分电离，浓度随温度快速上升；中间温区多数载流子接近净掺杂形成平台；高温时带间激发使n与p都趋向本征主导。23

成立条件 区间边界取决于材料、杂质能级和掺杂浓度；实际缺陷和简并会改变曲线

本征半导体 后续：高温区由本征浓度控制。
边界

简并时不能把np=ni²当成无条件恒等式

质量作用定律的简单形式来自电子和空穴都服从玻尔兹曼近似；当EF接近或进入能带时，完整费米积分会改变n、p与EF的关系。23

成立条件 强简并需使用费米—狄拉克统计；非理想高掺杂还可能需要带隙变窄和多体修正

非平衡与测量

定义

非平衡分析要区分平衡浓度与过剩浓度

光照或电注入后，总浓度写成n=n0+Δn、p=p0+Δp；带间成对产生常有Δn≈Δp，但背景平衡浓度n0与p0可以相差很多。14

n=n₀+Δn；p=p₀+Δp

Δn、Δp
过剩电子与空穴浓度，单位 cm⁻³

成立条件 均匀成对产生且无选择性抽取时Δn≈Δp；边界注入、陷阱和输运可使局部过剩浓度不同

关联

霍尔与电阻测量需要结合迁移率才能解释浓度

电导测量只给出q(nμn+pμp)的组合；单一载流子占优时，霍尔系数的符号和大小可进一步估计载流子类型与浓度，但多载流子和散射会引入修正。12

成立条件 简单1/qn或1/qp关系要求一种载流子占优；霍尔因子、并行通道和非均匀样品需校正

迁移率 用于：浓度与迁移率共同决定电导。

出处

4 本教材 · 20 处引用
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    Modern Semiconductor Devices for Integrated Circuits

    Chenming C. Hu · 2010

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