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半导体开放世界

连续性方程

Carrier Continuity Equation也称 载流子连续性方程、电荷守恒方程、continuity equation

连续性方程把局部载流子数的变化写成流入流出、外部产生和内部复合的严格守恒关系。

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约 1 分钟

把材料中的一小块区域当作账本：流入比流出多，载流子就积累；光照等外部作用会增加载流子，复合会减少载流子。电子和空穴各有一条方程，电流符号因电荷正负而不同。

系统理解

约 2 分钟

连续性方程来自局部粒子数守恒，而不是一种额外材料规律。对任意微小控制体，内部电子数的变化率等于电子粒子净流入，加上体内产生，减去体内复合；空穴同理。因为传统电子电流与电子粒子通量反向，而空穴电流与空穴粒子通量同向，两条电流形式的散度项符号相反。

把漂移—扩散电流代入连续性方程，就得到载流子浓度随时间和空间变化的偏微分方程。电场重新搬运载流子，浓度梯度使分布扩散，G与U改变总数。稳态只表示局部浓度不再随时间变化，并不表示电流、产生或复合分别为零；均匀衰减、少数载流子扩散长度和PN结准中性区分布，都是同一守恒式在不同假设下的解。

方程本身还不能唯一决定器件状态，必须与泊松方程、材料关系、初始条件和接触/表面边界条件联立。小注入下常把净复合近似为Δn/τ或Δp/τ；高注入、强场、简并、异质结、陷阱占据变化和表面复合明显时，源项、迁移率、扩散系数及边界条件都要采用对应模型。

连续性方程把漂移、扩散、产生与复合收束为局部守恒，并与泊松方程共同构成经典器件分析核心。

关键参数

关键参数
参数单位含义
载流子浓度 n、pcm⁻³控制体内单位体积的自由电子和空穴数。
电流密度 Jₙ、JₚA/cm²通过控制体边界的电子、空穴传统电流。
产生与复合率 G、Ucm⁻³·s⁻¹控制体内部的体源项和损失项。
散度 ∇·JA/cm³局部净流出强度；为零不等于电流本身为零。

常见误区

  • 认为稳态意味着没有电流、产生和复合
  • 混淆电子电流方向与电子粒子通量方向，写错散度项符号
  • 只写连续性方程而不提供初始条件和边界条件
  • 把电荷守恒误解为电子数和空穴数必须分别恒定
  • 在高注入和强非平衡状态中仍把U固定写成Δn/τ

工程深入

12 条结论

局部守恒

定义

连续性方程是载流子数的局部收支表

任意微小控制体内载流子数的变化，只能来自穿过边界的净流入、控制体内部的外部产生和内部净复合；方程不允许载流子无原因出现或消失。12

成立条件 连续介质描述，控制体大于微观离散尺度；电子与空穴分别计数并最终满足总电荷守恒

机制

散度衡量控制体内电流的净流出

∇·J为正表示该点附近传统电流净流出，为负表示净流入；它描述电流空间变化而不是电流大小本身，均匀非零电流的散度可以为零。12

成立条件 微分形式要求场可在局部求导；界面不连续时可使用积分形式和边界通量

电流散度与符号

公式

电子连续性方程含正的传统电流散度项

电子带负电，传统电子电流与电子粒子通量方向相反，因此传统电流净流出对应电子粒子在控制体内积累。12

∂n/∂t=(1/q)∇·Jₙ+Gₙ−Uₙ

n
电子浓度，单位 cm⁻³
Jₙ
电子传统电流密度，单位 A/cm²

成立条件 q表示正的元电荷量；Jn采用传统电流方向定义

公式

空穴连续性方程含负的传统电流散度项

空穴等效带正电，传统空穴电流与空穴粒子通量同向，因此传统电流净流出会降低控制体内空穴数。12

∂p/∂t=−(1/q)∇·Jₚ+Gₚ−Uₚ

p
空穴浓度，单位 cm⁻³
Jₚ
空穴传统电流密度，单位 A/cm²

成立条件 q表示正的元电荷量；Jp采用传统电流方向定义

漂移扩散连续性

关联

电流关系代入后才得到载流子运动方程

连续性方程只负责守恒；把Jn和Jp的漂移、扩散表达代入，才把电场、浓度梯度、迁移率与扩散系数引入浓度演化。12

成立条件 经典漂移—扩散电流模型；高场、简并或非局域输运需替换相应电流关系，但守恒形式仍保留

漂移 用于：漂移电流的空间变化进入连续性方程。
扩散 用于：扩散电流的空间变化进入连续性方程。
公式

零电场下守恒式化为扩散—反应方程

均匀材料且无电场时，载流子空间展开由D∇²控制，产生和复合改变总量；这是热传导型扩散与化学反应型损失的组合。12

∂Δp/∂t=Dₚ∇²Δp−Δp/τₚ+gₚ

Δp
过剩空穴浓度，单位 cm⁻³
Dₚ
空穴扩散系数，单位 cm²/s
τₚ
小信号有效空穴寿命，单位 s
gₚ
单位体积空穴产生率，单位 cm⁻³·s⁻¹

成立条件 D近似常数、无显著漂移；一维时∇²化为∂²/∂x²

边界

把净复合写成Δp/τ是线性化而非守恒要求

连续性方程允许任意物理合理的U(n,p,缺陷占据)；小注入时用Δp/τ只是把复杂复合动力学在工作点附近线性化。23

成立条件 小注入、有效寿命近似常数；SRH、辐射、俄歇或动态陷阱应按工作状态选用完整U

复合与产生 用于：复合模型为守恒方程提供非线性损失项。

稳态与典型简化

定义

稳态只要求局部浓度不再随时间变化

令∂n/∂t和∂p/∂t为零后，电流散度、产生与复合仍可各自非零，只需它们的局部收支恰好平衡。12

成立条件 外部偏置和边界条件随时间不变；稳态不等同于热平衡；器件可以持续有电流和功耗

公式

空间均匀关光实验退化为寿命衰减

若过剩载流子在空间上均匀、无继续产生且输运项消失，连续性方程只剩复合损失并给出指数衰减。24

dΔp/dt=−Δp/τ ⇒ Δp(t)=Δp(0)·exp(−t/τ)

Δp(t)
时刻t的过剩空穴浓度，单位 cm⁻³
τ
小注入有效复合寿命，单位 s
t
关光后的时间，单位 s

成立条件 小注入常寿命；表面复合和空间梯度可忽略

公式

稳态扩散—复合方程产生扩散长度

无电场、无体产生的一维准中性区中，稳态过剩少数载流子按指数空间衰减，特征长度由D和τ共同决定。12

D·d²Δp/dx²−Δp/τ=0；L=√(Dτ)

D
少数载流子扩散系数，单位 cm²/s
Δp
过剩少数空穴浓度，单位 cm⁻³
τ
小注入有效寿命，单位 s
L
少数载流子扩散长度，单位 cm
x
沿扩散方向的位置，单位 cm

成立条件 均匀材料、小注入、半无限或已指定边界；有限区域解需保留双曲函数或两个指数项

扩散 用于：扩散长度是连续性方程在稳态扩散—复合条件下的解尺度。

边界条件与器件求解

边界

微分方程必须配合初始和边界条件

同一连续性方程可以描述无限体、欧姆接触、阻挡接触或复合表面；真正选择物理解的是初始浓度、接触注入和表面通量等条件。12

边界示例：Fsurface=S·Δpₛ

Fsurface
表面少数载流子净复合通量，单位 cm⁻²·s⁻¹
S
表面复合速度，单位 cm/s
Δpₛ
表面过剩少数载流子浓度，单位 cm⁻³

成立条件 瞬态问题需初始条件；空间问题需足够数量且物理一致的边界条件

关联

器件求解需要与泊松方程自洽联立

载流子浓度决定空间电荷并改变电场，电场又改变漂移电流和载流子分布；因此真实器件通常联立泊松方程、两条连续性方程和材料关系迭代求解。12

成立条件 经典器件模拟基线；量子限域、弹道输运和强热效应需要增加相应方程

PN结 用于：PN结电势与少数载流子分布由泊松和连续性方程共同决定。

出处

4 本教材 · 5 处引用
  1. 1
  2. 2
  3. 3

    Physics of Semiconductor Devices

    S. M. Sze, Yiming Li, Kwok K. Ng · 第4版 · 2021

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  4. 4

    Modern Semiconductor Devices for Integrated Circuits

    Chenming C. Hu · 2010

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