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半导体开放世界

调制掺杂与二维电子气

Modulation Doping and Two-Dimensional Electron Gas也称 2DEG、二维电子气、调制掺杂、Modulation Doping

把供电子施主与界面输运区域分开，并用量子子带与面密度描述受限电子系统。

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约 1 分钟

把供电子施主与界面输运区域分开，并用量子子带与面密度描述受限电子系统。

系统理解

约 2 分钟

异质结接触后通过电荷转移与带弯曲形成势阱，垂直运动量子化、沿界面运动形成二维子带。电子面密度由能级与费米占据决定，静电势又受这些电子反作用，因此需要自洽求解。间隔层和施主分布在供电荷与散射之间折中，低场片阻还同时取决于面密度和漂移迁移率。

从能带、费米能级和迁移率出发，把电子来源、量子占据和二维片电阻连接起来，再进入HEMT器件。

关键参数

关键参数
参数单位含义
电子面密度n_sm⁻²沿垂直方向积分后的单位面积电子数
子带边缘E_jJ量子限制产生的第j子带最低能量
片阻R_□Ω/□二维均匀沟道的几何归一化电阻

常见误区

  • 二维不等于零厚度
  • 未有意掺杂不保证无散射
  • 2DEG与调制掺杂不是同义词

工程深入

13 条结论 · 1 道例题

从掺杂到界面电子气

定义

调制掺杂把供电子区域与主要输运区域分开

经典调制掺杂异质结构在较宽带隙势垒中引入施主，让电子转移到较窄带隙材料一侧的界面附近；电子提供者与电子主要运动区域因而不在同一位置。这里的“未掺杂沟道”是生长设计，不意味着每个位置都严格没有杂质。12

成立条件 以n-AlGaAs/GaAs型Ⅰ异质结构为例；不把所有二维电子气都归因于施主调制掺杂

机制

热平衡要求费米能级对齐并伴随带弯曲

两个材料接触后，电荷重新分布直到热平衡下费米能级一致；在教材的n-AlGaAs/GaAs例子中，转移电子与留下的离化施主改变电势，使GaAs侧形成限制电子的势阱。只画孤立材料带阶，不能得到接触后的完整电子分布。12

成立条件 热平衡、无沿面驱动电压；带阶与电荷诱导带弯曲是不同贡献，需要同时考虑

定义

二维指垂直受限而沿界面仍可运动

界面势阱把垂直方向的运动限制为离散能级，而电子沿界面两个方向仍具有连续动量状态。二维电子气不是零厚度的几何薄片，也不是说电子只能沿一条线运动。12

成立条件 有效质量、量子阱描述适用；实际波函数沿垂直方向有有限延伸

子带占据与面密度

公式

单个二维抛物子带的态密度在带边以上为常数

对各向同性抛物色散的单谷电子子带，计入两重自旋简并后，子带边以上的单位面积、单位能量态密度为常数；它不同于三维抛物带的平方根能量依赖。12

D2D=m∗πℏ2,E≥EjD_{2\mathrm{D}}=\frac{m^*}{\pi\hbar^2},\qquad E\ge E_j
D₂D = m*/(πℏ²)，E ≥ E_j
D₂D
单子带二维态密度，单位 J⁻¹·m⁻²
m*
面内电子有效质量，单位 kg
ℏ
约化普朗克常数，单位 J·s
E
电子能量，单位 J
E_j
第j子带边缘能量，单位 J

成立条件 单谷、两重自旋简并，不另乘额外谷简并；能量用J，m*为面内有效质量；只写一个子带的带边以上部分；多个子带的总态密度需在各自阈值处相加

公式

子带电子数由二维态密度与费米占据积分确定

对一个常态密度子带，把费米占据函数从该子带边缘积分到高能端，可得到有限温度电子面密度的对数表达式；不能把费米能级到子带边缘的差直接当作电子数。1

ns,j=m∗kBTπℏ2ln⁡[1+exp⁡(EF−EjkBT)]n_{s,j}=\frac{m^* k_B T}{\pi\hbar^2}\ln\left[1+\exp\left(\frac{E_F-E_j}{k_B T}\right)\right]
n_s,j = [m*k_BT/(πℏ²)] ln[1 + exp((E_F − E_j)/(k_BT))]
n_s,j
第j子带电子面密度，单位 m⁻²
m*
面内有效质量，单位 kg
k_B
玻尔兹曼常数，单位 J/K
T
绝对温度，单位 K
E_F
费米能级，单位 J
E_j
第j子带边缘能量，单位 J
ℏ
约化普朗克常数，单位 J·s

成立条件 平衡费米统计、单谷抛物子带、两重自旋简并；全部能量用J；不在指数中混用eV与J；多个被占据子带的面密度需相加

公式

面密度是垂直分布的积分并决定电子面电荷符号

把电子体浓度沿垂直界面方向积分，得到单位面积电子数；电子带负电，所以仅电子部分的面电荷等于负元电荷乘电子面密度。它不是包含离化施主、极化及栅电荷在内的总面电荷。1

ns=∫n(z) dz,Qe=−qnsn_s=\int n(z)\,\mathrm{d}z,\qquad Q_e=-q n_s
n_s = ∫n(z) dz；Q_e = −q n_s
n_s
电子面密度，单位 m⁻²
n(z)
垂直坐标z处电子体浓度，单位 m⁻³
z
垂直界面的坐标，单位 m
Q_e
仅电子部分的有符号面电荷，单位 C/m²
q
正的元电荷大小，单位 C

成立条件 积分覆盖该电子气的完整垂直分布；q取正的元电荷大小；Q_e只计电子电荷；本式为量纲与电荷计数定义，由教材面密度描述和电子电荷定义整理

机制

电子分布与势阱形状必须自洽

势能决定量子能级与电子波函数，电子占据形成的电荷又改变静电势。精确求解需要让薛定谔方程、泊松方程及载流子统计同时满足，而不是先固定任意势阱，再独立指定任何电子密度。12

成立条件 平衡或相应准平衡的有效质量建模；三角势阱解析式是特定近似，不取代所有结构的自洽解

分离设计与输运

机制

未掺杂间隔层减弱近邻施主对电子气的扰动

在施主掺杂势垒与电子气之间加入未掺杂间隔层，可增加电子波函数与离化杂质的空间分离，减弱这类散射。这一结构策略不保证声子、界面粗糙及远程电荷等散射全部消失。12

成立条件 经典调制掺杂异质结构；间隔层厚度、实际界面与残余杂质均影响净收益

边界

间隔层加厚还会改变可转移电子面密度

把施主离电子气放得更远会改变势垒上的静电势降，因此间隔层不是只改变散射而不改变电荷的独立旋钮。在教材给定的AlGaAs/GaAs计算结构中，较厚间隔层对应较低电子面密度，需与迁移率收益一起权衡。1

成立条件 只概括教材图19的固定材料与掺杂比较；不把单一结构的定量曲线外推成任意异质结构的通用函数

机制

δ掺杂改变施主空间分布而不是另一种电子电荷

δ掺杂把施主集中在很薄的层内，区别于较厚势垒中的均匀掺杂；它可用来调整沟道供电子和势垒并联导电问题。其“δ”是理想化空间分布描述，不意味着实际生长层严格没有有限宽度。12

成立条件 讨论施主供电子的调制掺杂结构；不把施主面密度直接等同于全部已转移电子面密度

边界

低温迁移率优势不等于室温也按相同比例提升

降低温度后，声子散射减弱，使局部杂质与其他剩余散射更突出；调制掺杂减少沟道近邻离化杂质的效果因而可能在低温更加明显。不能用低温最高迁移率代表室温、不同电子密度或不同界面质量的工作状态。1

成立条件 比较同类低场输运数据时需注明温度、面密度和结构；不使用教材历史迁移率纪录作为今天器件保证值

公式

二维导电层的片阻同时取决于面密度和迁移率

在单一电子沟道、低场漂移近似下，单位方形的电阻由元电荷、电子面密度与漂移迁移率共同决定。高迁移率但很低面密度的电子气，未必具有更低片阻。1

R□=1qnsμR_{\square}=\frac{1}{q n_s\mu}
R_□ = 1/(q n_s μ)
R_□
电子气片电阻，单位 Ω/□
q
元电荷大小，单位 C
n_s
电子面密度，单位 m⁻²
μ
低场漂移迁移率，单位 m²/(V·s)

成立条件 均匀单电子沟道、无磁场、低场欧姆输运；μ为漂移迁移率；Hall提取值若需Hall因子修正不能直接当作同一量；忽略接触电阻和势垒并联通道；从I_D=Wq n_s μV/L推导

例题：动手算一次教学假设，可复算

教学假设：单沟道电子气n_s = 1.0×10¹² cm⁻²、μ = 8.0×10³ cm²/(V·s)，求片阻，以及长宽比L/W = 0.10的矩形沟道在10 mV下的电流。

已知

  1. q = 1.602176634×10⁻¹⁹ C
  2. 低场、均匀单沟道、无磁场，忽略接触和并联电阻
  3. 密度和迁移率为教学假设，不是某材料或产品保证值

步骤

  1. n_s = 1.0×10¹⁶ m⁻²；μ = 0.80 m²/(V·s)，cm⁻²换为m⁻²乘10⁴，cm²换为m²乘10⁻⁴。
  2. q n_s μ ≈ 1.28×10⁻³ S；R_□ ≈ 780 Ω/□，先求片电导，再取倒数。
  3. R = R_□(L/W) ≈ 78 Ω，矩形片电阻按长宽比缩放。
  4. I = 0.010/R ≈ 1.3×10⁻⁴ A = 0.13 mA，应用低场欧姆关系求电流，结果按输入精度取两位有效数字。
结果 片阻约7.8×10² Ω/□；矩形沟道电阻约78 Ω，电流约0.13 mA。

片阻是几何归一化电阻，并非把“每方”当作某个固定面积单位。

不能外推到 若接触、电荷不均匀、Hall因子或高场速度非线性重要，需要其他模型。

边界

二维电子气不一定由调制掺杂提供

二维电子气描述受限电子的状态，调制掺杂描述供电子结构；二者不是同义词。例如未掺杂异质结绝缘栅场效应结构可以由栅电压诱导电子沟道，不需要把经典供电子势垒掺杂照搬过去。12

成立条件 这里用教材HIGFET与MODFET作比较；极化诱导GaN电子气及其功率可靠性复用既有节点，不在本条重复展开

出处

2 本教材 · 21 处引用
  1. 1

    Physics of Semiconductor Devices

    S. M. Sze, Yiming Li, Kwok K. Ng · 第4版 · 2021

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  2. 2

    The Physics of Semiconductors

    Marius Grundmann

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