有源模拟滤波器

Active Analog Filter也称有源RC滤波器、Sallen-Key滤波器、多反馈滤波器

用运放与RC网络实现连续时间频率选择，并联合约束极点、容差、内部摆幅和真实阻带。

专深出处 3 份资料

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速览

约 1 分钟

响应族描述希望得到的曲线，Sallen-Key或多反馈则是实现方法。选定响应后仍需把自然频率、Q和增益落实到元件，并确认真实运放与每一级都在线性范围。

系统理解

约 2 分钟

二阶全极点模型把自然频率和阻尼分开。RC乘积决定频率量级，元件比例与增益共同决定Q；高Q不仅影响曲线，也放大容差和内部摆幅风险。

高阶电路由不同二阶级与可能的一阶级组成。理想级联顺序不改乘积，实际却影响过载和噪声。最后需要以标准元件值、漂移、运放有限响应和真实负载重验，而不是只验证标称传递函数。

承接运放与频率响应，关注连续时间RC有源实现；射频端口匹配与声学滤波沿用射频滤波器节点。

关键参数

关键参数
参数	单位	含义
自然频率、品质因数与增益	Hz；1	定义每个二阶级的目标
阻容容差及漂移	%；ppm/K	限定实际极点与级间偏离
内部摆幅与运放响应	V；Hz	决定动态范围和真实阻带

常见误区

Butterworth就是一种固定运放接线。
自然频率总是−3dB截止。
最终输出不削顶就说明内部没有过载。
标称RC正确就不必检查实际运放。

工程深入

12 条结论 · 2 道例题

响应与电路实现

定义

响应族与运放滤波拓扑不是同一分类

Butterworth等名称规定传递函数响应，而Sallen-Key与多反馈MFB描述电路连接。选定响应后仍需选择实现拓扑；一个Sallen-Key低通级可以通过元件与增益配置实现不同二阶极点参数。^{1, 2}

成立条件 讨论集总RC与运放构成的连续时间有源滤波；不把射频端口匹配指标直接等同于这里的电压传递

公式

二阶低通用自然频率和阻尼分别约束分母

把直流增益记为K、自然角频率记为ω0，二阶全极点低通可写成标准式。Q改变极点阻尼而不是独立增加一个零点；该式是理想小信号目标，不包含运放有限带宽。^{1, 2}

H(s)=\frac{K\omega_0^2}{s^2+(\omega_0/Q)s+\omega_0^2}

$H$: 电压传递函数无量纲
$s$: 复频率单位 s⁻¹
$K$: 直流增益无量纲
$\omega_0$: 自然角频率单位 rad/s
$Q$: 极点品质因数无量纲

成立条件 K为带符号直流电压增益，ω0>0、Q>0；以下非反相例题取K>0

公式

自然频率不自动等于下降三分贝的频率

在自然频率处代入标准式，幅值为|K|Q。因而相对直流幅度只有在Q=1/√2时才恰为1/√2；其他Q或高阶级联不能把每级自然频率直接当全滤波器的−3dB截止。^{1, 2}

|H(j\omega_0)|=|K|Q,\qquad f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}

$H$: 电压传递函数无量纲
$K$: 直流增益无量纲
$Q$: 极点品质因数无量纲
$\omega_0$: 自然角频率单位 rad/s
$f_0$: 自然频率单位 Hz

成立条件 讨论二阶低通本级，相对本级直流增益计算；由两份来源的标准传函直接代入推导

元件、增益与灵敏度

公式

等值Sallen-Key用增益设置Q而用RC设置自然频率

在等电阻、等电容的Sallen-Key低通中，Q=1/(3−K)，自然频率由RC乘积确定。这种简化减少可选自由度；不能在保持元件相等的同时任意独立指定增益与Q。^{1, 2}

f_0=\frac{1}{2\pi RC},\qquad Q=\frac{1}{3-K}

$f_0$: 自然频率单位 Hz
$R$: 两个相等电阻的阻值单位 Ω
$C$: 两个相等电容的容值单位 F
$Q$: 极点品质因数无量纲
$K$: 非反相增益无量纲

成立条件 理想非反相增益块，R1=R2=R，C1=C2=C；正阻尼要求K<3；实际运放及元件偏差另验

例题：动手算一次教学假设，可复算

教学模型R=10.0 kΩ、C=10.0 nF，目标Q=1/√2，求f0、K及自然频率处幅值。

已知

采用等值Sallen-Key理想模型
只计算标称值，不代表容差或器件签核

步骤

RC=100 µs10⁴ Ω乘10⁻⁸ F，Ω·F=s。
f0=1/(2π×100 µs)≈1.59 kHz由时间常数求自然频率。
K=3−√2≈1.586增益由目标Q反求。
|H(jω0)|=K/√2≈1.121 V/V相对直流幅度为0.7071，即约−3.010 dB。

结果自然频率约1.59 kHz；增益约1.586；自然频率处幅值约1.121 V/V。

本例恰因Q=1/√2而在自然频率处相对直流下降约3dB。

适用边界 不包含有限运放增益、温度与元件公差。

机制

高Q等值设计对增益误差更加敏感

在等值模型中Q对K的导数为Q²，K越靠近3，小的增益变化越容易变成大的Q变化。要求更高Q时应同时考虑电阻比精度、运放实际闭环增益与容差，而不是只把标称K写得更接近3。^{1, 2}

成立条件 由Q=1/(3−K)求导，局部小偏差近似；不把无限Q极限当作稳定可制造滤波器

公式

自然频率的最坏同向元件偏差不能用独立随机误差代替

一般Sallen-Key低通的自然频率由四个频率设定元件的乘积决定。四个元件同时增大时自然频率下降；最坏界限与独立随机误差的均方根估计不是同一件事，后者需要额外统计假设。^{1, 2}

f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}

$f_0$: 自然频率单位 Hz
$R_1$: 第一个频率设定电阻单位 Ω
$R_2$: 第二个频率设定电阻单位 Ω
$C_1$: 第一个频率设定电容单位 F
$C_2$: 第二个频率设定电容单位 F

成立条件 R1、R2、C1、C2均为正，采用理想拓扑；只分析自然频率，不代表Q也按同一比例变化

例题：动手算一次教学假设，可复算

教学模型四个元件均有±1%界限，比较全部+1%和全部−1%时自然频率相对标称值的变化。

已知

只计算四元件同向边界
不存在独立随机分布假设

步骤

乘积比例=(1±0.01)⁴四个元件同时取同一比例。
f0变化比例=1/(1±0.01)²自然频率与乘积平方根成反比。
全部+1%：1/1.01²−1≈−1.9704%增大元件使自然频率下降。
全部−1%：1/0.99²−1≈+2.0304%减小元件使自然频率上升，正负结果不严格对称。

结果自然频率边界约为−1.97%和+2.03%。

这是一种最坏同向偏差分析，不是统计良率。

适用边界 没有分析Q、温漂、元件相关性或运放非理想。

边界

标准值替代与温度时间漂移须重新检查整条响应

计算出的阻容值换成可购标准值后，应重新分析频率与Q；初始容差、不同温度系数和时间漂移还会继续改变级间配合。高阶设计的每级略偏，最终响应也可能偏离目标。³

成立条件 按实际元件系列、温区及寿命条件验证；不将资料举例的元件范围或温漂值视为通用标准

级联与可用动态范围

机制

高阶有源滤波由二阶级和可能的实极点级实现

把共轭极点分成二阶级后，可用Sallen-Key、MFB或混合实现高阶响应；奇数阶还包含一个实极点级。各级频率与Q须匹配目标多项式，不能把相同的二阶级简单重复就声称得到指定高阶响应。^{1, 3}

成立条件 目标为实系数稳定全极点滤波器；级间负载须可忽略或纳入设计

机制

级联顺序不改理想乘积却会改变内部峰值

理想线性且互不加载时，各级传递函数乘法可交换；实际常把较低Q级放前、较高Q级放后，以减少前级峰化引起后续节点过载的机会。最终仍需检查每一级的摆幅，不能仅看末端幅度。^{1, 3}

成立条件 顺序经验适用于所讨论低通级联，不是所有拓扑的唯一最优排列；增益分配、输入谱与噪声目标可能改变具体选择

边界

末端波形看似正常仍可能掩盖内部Q压缩

有源级的高Q与级增益共同增加内部摆幅需求；某个内部放大节点过载后，有效Q可能降低，传递函数随输入幅度改变，即使末端波形未呈现明显削顶也不能判定全链线性。³

成立条件 检查多个输入幅度及内部节点，不只检查输出端；源自有源滤波实现中的动态范围问题，不将小信号模型延伸到饱和区

高频与实物核验

边界

Sallen-Key阻带不能无限沿理想斜率延伸

在高于滤波截止的频段，运放闭环输出阻抗上升及网络馈通可能抬高Sallen-Key阻带响应。实际阻带须连同运放频率特性检查，而不是把理想二阶分母外推到任意高频。^{1, 3}

成立条件 针对所述Sallen-Key电路的高频非理想；附加被动RC会改变加载及传函，应重新验证

边界

末级被动实极点可限制前级运放的带外噪声

在包含实极点的级联低通中，把被动一阶级放在末端可对前面运放产生的部分噪声再次限带。这是同时考虑噪声与级间摆幅的实现选项，不意味着任何阶数都应额外增加一极点。³

成立条件 加入或移动实际级后保持目标传递函数与负载条件；末级自身电阻噪声仍需计算，不能宣称噪声被完全消除

出处

3 份资料 · 21 处引用

1
Active Low-Pass Filter Design, SLOA049D
Jim Karki · 2023
- SLOA049D（2023-02），印刷第3页，§1 支持：响应族与运放滤波拓扑不是同一分类
- SLOA049D（2023-02），印刷第4页，§3 式(1) 支持：二阶低通用自然频率和阻尼分别约束分母；自然频率不自动等于下降三分贝的频率
- SLOA049D（2023-02），印刷第19页，A.1.4 支持：等值Sallen-Key用增益设置Q而用RC设置自然频率；高Q等值设计对增益误差更加敏感
- SLOA049D（2023-02），印刷第19页，A.1.1 支持：自然频率的最坏同向元件偏差不能用独立随机误差代替
- SLOA049D（2023-02），印刷第10页，§8 图8-1、8-2 支持：高阶有源滤波由二阶级和可能的实极点级实现；级联顺序不改理想乘积却会改变内部峰值
- SLOA049D（2023-02），印刷第16页，§11.1 图11-1、11-2 支持：Sallen-Key阻带不能无限沿理想斜率延伸
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2
MT-222: Sallen-Key Filters, Rev. B
Hank Zumbahlen · 2017
- MT-222 Rev.B（2017-12），印刷第1–2页，Sallen-Key Filters 支持：响应族与运放滤波拓扑不是同一分类
- MT-222 Rev.B（2017-12），印刷第2页，Sallen-Key Filters 支持：二阶低通用自然频率和阻尼分别约束分母；自然频率不自动等于下降三分贝的频率；等值Sallen-Key用增益设置Q而用RC设置自然频率；自然频率的最坏同向元件偏差不能用独立随机误差代替
- MT-222 Rev.B（2017-12），印刷第1页，Sallen-Key Filters 支持：高Q等值设计对增益误差更加敏感
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3
Basic Linear Design, Chapter 8: Analog Filters
Analog Devices
- 第 8 章 §8.7–8.8，印刷第8.109–8.110页 支持：标准值替代与温度时间漂移须重新检查整条响应
- 第 8 章 §8.7–8.8，印刷第8.122页 支持：高阶有源滤波由二阶级和可能的实极点级实现；级联顺序不改理想乘积却会改变内部峰值；末级被动实极点可限制前级运放的带外噪声
- 第 8 章 §8.7–8.8，印刷第8.117页 支持：末端波形看似正常仍可能掩盖内部Q压缩；Sallen-Key阻带不能无限沿理想斜率延伸
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关键参数

常见误区

响应与电路实现

#响应族与运放滤波拓扑不是同一分类

#二阶低通用自然频率和阻尼分别约束分母

#自然频率不自动等于下降三分贝的频率

元件、增益与灵敏度

#等值Sallen-Key用增益设置Q而用RC设置自然频率

已知

步骤

#高Q等值设计对增益误差更加敏感

#自然频率的最坏同向元件偏差不能用独立随机误差代替

已知

步骤

#标准值替代与温度时间漂移须重新检查整条响应

级联与可用动态范围

#高阶有源滤波由二阶级和可能的实极点级实现

#级联顺序不改理想乘积却会改变内部峰值

#末端波形看似正常仍可能掩盖内部Q压缩

高频与实物核验

#Sallen-Key阻带不能无限沿理想斜率延伸

#末级被动实极点可限制前级运放的带外噪声

Active Low-Pass Filter Design, SLOA049D

MT-222: Sallen-Key Filters, Rev. B

Basic Linear Design, Chapter 8: Analog Filters