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半导体开放世界

FDTD 的 Maxwell 方程、Yee 网格、稳定性与 PML

FDTD Maxwell Equations, Yee Grid, Stability, PML, Sources and Monitors（FDTD / Yee / CFL / PML）也称 时域有限差分、Yee元胞、Courant稳定性、完美匹配层、偶极子光源

FDTD在交错Yee网格上显式推进Maxwell旋度方程，可由一次宽带脉冲获得多频响应；可信结果依赖色散材料、网格与时间步、开放边界、源和监视器共同收敛。

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速览

约 1 分钟

电场和磁场分量在空间与时间上错开，彼此用旋度更新。网格要分辨最短材料内波长和最小几何，时间步受Courant条件限制；PML把开放空间截断为吸收层，但离散、斜入射和错误穿越结构仍会产生反射。

系统理解

约 3 分钟

Maxwell旋度方程把电场变化与磁场旋度、电流相连，把磁场变化与电场旋度相连。Yee布局将E和H分量放在单元不同边/面并以半时间步交错更新，使离散旋度天然闭合环路。显式算法无需每步求全局矩阵，但三维存储和步数随网格迅速增长。

离散必须同时解析材料内最短波长、薄层、尖角和高折射率界面。过粗网格会产生数值色散、阶梯几何和错误相位；仅局部极细网格又会压低全局稳定时间步。时间步超过Courant上限会发散，低于上限也不保证空间误差小；应分别检查网格、时间步、仿真时长和自动停止阈值。

有限计算域通过PML、周期/Bloch、对称或导体边界模拟外界。PML在连续理论上匹配，但离散网格、材料截断、近场、陡角和层数有限会产生残余反射；应改变PML距离、层数和参数验证目标量。周期结构只有当结构和场的相位关系都满足时才能缩为单元。

源与监视器定义问题本身。偶极子可表示局部辐射体，但真实LED自发辐射包含位置、方向、频率和相位统计；多个相干偶极子的场直接相加会产生非物理干涉。应对位置和三个正交方向做非相干强度平均，并用封闭功率面、频域监视器和近远场变换检查注入、吸收、反射、透射与边界泄漏。

承接Maxwell电磁基础与有限差分离散，向后连接LED微纳纹理、光子器件和近远场测量。

公式提示

均匀直角网格的Courant上限可写Δt≤1/[c√(Δx⁻²+Δy⁻²+Δz⁻²)]；材料、色散实现与局部网格可能要求更保守时间步。

关键参数

关键参数
参数单位含义
Δx、Δy、Δz、最短材料内波长与单元阶梯误差m / m控制空间离散和数值色散
Δt、Courant因子、仿真时长与停止阈值s / — / s / —控制稳定、频率分辨和残余场
ε(ω)、μ(ω)、σ与材料拟合误差— / — / S·m⁻¹ / %定义色散吸收介质
PML距离、层数、反射与周期相位m / count / dB / rad限定开放或周期边界
源位置方向频谱、监视面与功率闭合m / — / Hz / m² / %定义激励和输出

常见误区

  • PML在离散仿真中绝对零反射
  • 时间步越小就能修复任何粗网格
  • 一个固定偶极子代表所有LED自发辐射
  • 场图更亮等同总光功率更高
  • 周期结构总能使用周期边界

工程深入

12 条结论 · 1 道例题

控制方程

定义

FDTD直接离散Maxwell旋度方程的时域演化

电场与磁场通过相互旋度和电流源交替更新，一次宽带脉冲可经傅里叶变换得到多频响应。12

成立条件 材料时域本构正确实现；初始与边界条件明确

Yee网格

机制

电磁分量空间交错使离散旋度围绕闭合环路

每个电场分量邻接磁场分量，电磁更新又在半时间步交错，保持局部耦合和显式推进。12

成立条件 直角Yee网格；分量位置和符号约定一致

空间离散

边界

网格需分辨材料内最短波长和最小结构

高折射率会缩短波长，薄膜和尖角还产生局部梯度；只按真空波长选网格会低估相位与吸收误差。13

成立条件 检查每材料波长单元数；执行至少三档网格收敛

数值色散

机制

离散网格使相速度随方向和分辨率偏移

即使材料无色散，粗Yee网格也会产生数值相位误差并改变共振、远场和传播时间。12

成立条件 比较相位敏感输出；网格方向与结构旋转纳入检查

时间稳定

公式

显式更新时间步受Courant条件限制

信息每步不能跨越超出离散邻域；超过上限通常发散，低于上限仍需空间和材料收敛。23

Δt≤1/[c√(Δx⁻²+Δy⁻²+Δz⁻²)]

Δt
时间步，单位 s

成立条件 均匀直角三维网格；真空传播上限的一阶表达

例题：动手算一次教学假设，可复算

三维立方网格步长均为20 nm时，真空Courant时间步上限约多少？

已知

  1. Δx=Δy=Δz=20 nm
  2. c=2.998×10⁸ m/s

步骤

  1. Δtmax=Δ/(c√3)，立方网格代入三维稳定上限。
  2. Δtmax≈20×10⁻⁹/(2.998×10⁸×1.732)=3.85×10⁻¹⁷ s，换算得到约0.0385 fs。
结果 约3.85×10⁻¹⁷ s（0.0385 fs）。

纳米网格使显式时域步长极小。

不能外推到 材料色散、非均匀网格与软件实现可能要求更保守的稳定因子；稳定不等于精度足够。

PML

定义

PML是人工吸收层而不是物理材料边界

它通过匹配并衰减外向波模拟开放空间；连续理论理想匹配，离散实现仍有有限反射。34

成立条件 PML位于目标近场之外；结构和材料正确延伸到吸收区

PML验证

边界

PML层数增加不保证单调改善所有问题

材料终止、陡角、倏逝场、数值网格和参数缩放会影响反射，应改变距离、层数和轮廓验证目标量。34

成立条件 监测边界反射或功率闭合；源与监视器不被边界截断

周期边界

边界

周期结构还要求激励场满足周期或Bloch相位

单个偶极子放在周期单元中会隐含无限偶极子阵列；若目标是孤立发射体则边界问题已被改写。13

成立条件 结构与源的周期性一致；斜入射使用正确Bloch相位

偶极子源

机制

电偶极子是局部辐射基函数而非完整LED源

其位置方向频谱和环境决定注入功率与场分布，真实有源区需对空间、方向和频率统计平均。15

成立条件 源功率归一化明确；偶极附近网格充分且不在吸收材料奇点

非相干统计

公式

随机无偏振偶极子可由三个正交方向强度非相干平均

相位随机发射体应先分别求解正交偶极，再加功率或强度；直接加复场会产生伪干涉。15

⟨|E|²⟩=(|Ex|²+|Ey|²+|Ez|²)/3

E
相应偶极激励的电场，单位 V·m⁻¹

成立条件 线性系统；取向各向同性且位置相同

监视器

边界

局部场强图不能替代封闭面功率积分

驻波节点和热点受相位与归一化影响，总辐射或提取需积分Poynting通量并扣除反向和吸收通道。13

成立条件 监视面位于均匀或可解释区域；频域归一化和法向一致

时间窗

边界

仿真结束过早会把残余储能误当吸收或遗漏窄带响应

高Q结构衰减慢，需让场能降到阈值并检查时间窗延长后频谱和功率稳定。13

成立条件 源脉冲已结束；自动停止阈值和最大时长记录

出处

5 份资料 · 6 处引用
  1. 1
  2. 2

    Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media

    Kane S. Yee · 1966

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  3. 3
  4. 4

    A Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves

    Jean-Pierre Berenger · 1994

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  5. 5

    Incoherent Unpolarized Dipole

    Ansys Optics · 2026

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